Matematica - între mecanica regulilor și limbajul real prin care putem da sens lumii
Provocarea: Prea mulți elevi învață matematica mecanic, ca pe o limbă străină fără sens, memorând formule fără să înțeleagă de ce funcționează.
Soluția: Predarea matematicii pentru înțelegere conceptuală înainte de aplicarea procedurilor, considerând-o un limbaj viu care descrie relații și tipare din lumea reală.
Beneficii: Învățare mai profundă și de durată, motivație crescută din partea elevilor, mai puțină nevoie de reluări și repetiții, transfer în situații noi
Timp de lectură: 10 minute
Filmul „Lecții persane" (2020) spune povestea lui Gilles, un evreu care evită execuția într-un lagăr nazist pretinzând că e persan și inventând o limbă inexistentă pentru a-și convinge comandantul că îl poate învăța „farsi". Această limbă inventată, mecanică și lipsită de sens real, îmi amintește de modul în care generații întregi învață matematica în școală.
📌 La fel cum comandantul învață această limbă artificială fără să înțeleagă esența ei, prea mulți elevi învață matematica ca pe un set de reguli și formule abstracte, fără conexiune cu realitatea și fără să înțeleagă ideile profunde care le fac să funcționeze.
Dar la ce bun să știm CE fără să înțelegem CUM, mai ales într-o lume unde cel mai nou asistent IA ne oferă pe tavă oriCE?
A ști nu înseamnă a înțelege
Cunoștințele de tip faptic și înțelegerea stau pe trepte calitativ diferite. Simpla reținere mecanică a cât mai multor cunoștințe nu va genera în sine vreun sens. În lumea educațională, încă sunt adepți ai acestei perspective, care motivează că sensul vine mai încolo, eventual îl creează singur învățăcelul când se confruntă cu viața reală. Mai întâi trebuie să avem cunoștințele ca să putem gândi critic, nu-i așa?
Perspectiva asta asupra învățării este nu doar leneșă, dar și neștiințifică. Tot ce știm despre știința învățării confirmă că informațiile reținute mecanic într-un vacuum, fără să fie legate de ceea ce știe deja cel ce învață și în rețele semantice sunt niște efemeride.
📌 Memorarea și înțelegerea se petrec în tandem, dar pentru asta e nevoie de priceperea unui profesor care plantează „ancore” puternice în mintea copiilor. Până nu se leagă între ele și cu ceea ce știm deja despre lume, cunoștințele de tip faptic devin un exercițiu arid de memorare temporară. Adesea oamenii numesc asta învățare, dar e un tip de învățare care rămâne la suprafață și nu se poate transfera în situații noi, acolo unde miza e competența reală, deci înțelegerea și elaborarea sensului.
📌 În esență, matematica este un limbaj care descrie lumea în termeni de relații dintre obiecte și tipare. Așa cum limba pe care o vorbim ne ajută să articulăm abstracțiuni precum gânduri și idei, matematica ne ajută să comunicăm relațiile dintre cantități, forme și structuri.
📌 În loc să fie doar o serie de reguli și calcule izolate, matematica devine un mod de a înțelege universul, permițându-ne să observăm și să prezicem tipare, structuri și comportamente. Frumusețea și utilitatea acestei abordări reies din capacitatea de a transforma conceptele matematice în tot atâtea instrumente de a înțelege lumea, de a explica și descrie realitatea pe care o experimentăm în fiecare zi.
Această perspectivă asupra matematicii ca instrument ce dezvăluie relații mai profunde între obiecte (in)tangibile din lume poate transforma modul în care gândim. Iată ce am învățat ca non-profesor de matematică, lucrând cu profesorii în ultimii ani în programul #DataMathLab.
Exemplul 1: tabla înmulțirii
În mod tradițional, elevii primesc tabla înmulțirii ca pe o matrice de numere de memorat și scopul este să reproducă rapid rezultatele.
În abordarea conceptuală, nu mai e nevoie să ne chinuim să reținem pe de rost tabla înmulțirii. Sigur că ținta e să ai răspunsul rapid, fără să încarci memoria de lucru când ai de rezolvat probleme diverse. Dar modul cum ajungi acolo nu trebuie să fie prin chinul memorării pe de rost, mai ales când tabla înmulțirii ascunde tipare ușor de înțeles, dacă ea este abordată gradual.
Tabelul cu tiparele de înmulțire de la NCETM - materiale de dezvoltare profesională
Aici o resursă de la NCTEM (Centrul Național de Excelență în Predarea Matematicii din Marea Britanie) care arată în detaliu conversații între practicieni și metode practice de predare a tablei înmulțirii care duc atât la memorare pe termen lung, cât și la înțelegere.
Iată cum poate fi transformată învățarea: începem cu înmulțirea ca adunare repetată - 3 × 4 este vizualizat ca „3 grupuri de câte 4". Elevii pot construi fizic aceste grupuri cu obiecte, le pot desena sau aranja în forme rectangulare. Apoi pot descoperi proprietățile înmulțirii prin investigație: comutativitatea: 3 × 4 = 4 × 3 - folosim grile de pătrățele pentru a vedea că rotind dreptunghiul obținem același rezultat.
Elevii pot explora apoi tipare pentru fiecare număr. De exemplu, la înmulțirea cu 9, suma cifrelor e mereu 9 (9×3=27→2+7=9), prima cifră e cu 1 mai mică decât numărul înmulțit cu 9, a doua cifră completează până la 9.
Pot fi folosite strategii vizuale și mnemonice naturale 6 × 8 poate fi descompus în 5 × 8 + 1 × 8 sau folosim dublu: 3 × 8 × 2 sau jumătate: 6 × 8 = (6 × 10) - (6 × 2). Așa elevii construiesc punți între numere cunoscute: dacă știm 5 × 6 = 30, atunci 6 × 6 e doar cu încă un grup de 6, dacă știm 4 × 7 = 28, atunci 8 × 7 e dublu etc.
Dacă pornim de la înțelegerea conceptuală că tabla înmulțirii ascunde tipare care se repetă între numere, atunci vă puteți imagina activități care pot susține construirea acestui sens, precum:
Vânătoarea de tipare: elevii primesc tabla înmulțirii și în perechi, caută tipare și le notează / colorează, apoi împărtășesc descoperirile cu clasa,
Jocul "Găsește strategia": un elev spune o înmulțire (ex: 7 × 8), altul explică strategia sa de gândire, clasa discută diferite strategii și eficiența lor.
📌 Când elevii descoperă tiparele din tabla înmulțirii și profesorii explică aceste reguli, elevii nu o mai privesc ca pe o fișă de memorat cu numere izolate. Fluența procedurală poate fi dezvoltată ulterior, într-o varietate de exerciții care antrenează aceste metode diferite de calcul până când rezultatele devin imediat accesibile.
Exemplul 2: operații cu fracții
Fracțiile reflectă foarte bine marele salt calitativ pe care trebuie să îl facă un elev proaspăt intrat în gimnaziu de la modelarea cu obiecte la gândirea abstractă.
Elevii învață în școala primară că fracțiile sunt părți din întreg, exersează cu felii de pizza și mai târziu primesc regulile prin care pot face adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Deși aceste reguli sunt importante, ele sunt prezentate adesea ca niște înțelegeri gata rumegate, fără ca elevii să reflecteze la ele ca să le poată ei singuri înțelege, nu doar memora sau aplica procedural.
Cum ar putea arăta varianta care prioritizează înțelegerea conceptuală a fracțiilor ca răspunsuri la probleme de diviziune, nu doar ca părți dintr-un întreg? (Care întreg? Asta e, de fapt, miza până la urmă). O neînțelegere frecventă a elevilor e intuiția că înmulțirea mărește, în timp ce împărțirea micșorează, ceea ce în cazul fracțiilor nu se mai aplică, iar regula „înmulțește cu inversul” pare arbitrară.
📌 Pentru a preîntâmpina neînțelegerea, un profesor poate gândi mai multe activități care să construiască o înțelegere conceptuală precum: Înmulțirea fracțiilor înseamnă „o parte dintr-o parte”. Nu este doar un calcul abstract, ci o reducere progresivă a unei cantități prin aplicarea unui raport asupra altui raport.
Așa, însuși conceptul de înmulțire capătă un sens mai complex, pentru că nu înseamnă doar creștere prin adunare repetată, așa cum știau elevii până atunci, ci mai degrabă e definită prin modul cum se comportă în diferite contexte. Iar în cazul fracțiilor, poate micșora rezultatul final.
Dacă dintr-o treime dintr-o prăjitură, ție îți dau un sfert, traducem asta în limbaj matematic prin: ⅓ x ¼ sau ¼ x ⅓ .
Nu știu încă ce face înmulțirea cu fracțiile, dar pot descoperi singur printr-un desen.
Observ că bucata ta e 1/12 din toată prăjitura, adică taman 3x4.
Așa pot înțelege cel puțin două lucruri:
Înmulțirea fracțiilor poate avea efectul micșorării dacă fragmentez și mai mult un fragment (acest „fragmentez și mai mult” presupune că fracția mea e subunitară, deci se înscrie în interpretarea „parte din întreg”).
Matematica se potrivește grozav cu realitatea.
Mai departe, pot descoperi, cu ajutor și cum arată împărțirea a două fracții. Dacă în problema de mai sus, inversez datele și întreb: câte porții de un sfert încap într-o treime de prăjitură? Deci cum aș putea împărți 1/3 în porții de 1/4? Sau câte sferturi încap într-o treime? Patru sferturi! Dar în două treimi? De două ori mai multe sferturi. Se poate observa regula: ține (prima fracție) - schimbă (împărțirea cu înmulțirea) - inversează (a doua fracție): 1/3 : 1/4= 1/3 x 4 = 4/3.
📌 Fracțiile devin cu exemple de felul acesta nu doar niște numere cu care operăm în gol, ci moduri de a descrie dimensiunile relative ale porțiunilor cu diferiți întregi în diferite situații.
Totul bine și frumos, dar cum facem cu provocările care fac ca practica să ne depășească?
📌 Sunt trei mari motive des invocate de aproape toți profesorii de matematică pe care i-am întâlnit: timpul, examenele și reticența elevilor. Toate sunt valide și ridică alte întrebări pe care fiecare profesor trebuie să le clarifice pentru sine (iar liderii educaționali să le stabilească pentru întregul curriculum).
1. Timpul și materia încărcată
❌ Provocare: „Nu am timp să predau conceptual."
✅ Soluție: Timpul investit în înțelegerea conceptuală este economisit pe termen lung.
Așa e - materia e multă și trebuie singuri să o aranjați într-un fir logic care construiește gradual și înțelegere, și fluență procedurală. Cine poate face asta fără o pregătire temeinică, fără timp dedicat? Și cine alocă atât timp acestei pregătiri, când formarea profesională continuă sau comunitățile de practică lipsesc aproape complet?
Pe de altă parte, timpul de predare pentru a aplica formule (fără a le înțelege) este ineficient pe termen lung și poate îndepărta foarte ușor elevii care nu au un interes preexistent pentru matematică. Mai eficient este să dedicați un timp mai mare la început pentru a consolida înțelegerile conceptuale esențiale, ceea ce se poate numai dacă elevul este pus în contextul de a gândi.
A preda o definiție în lipsa obiectului la care face referire în mintea copilului e ca și cum ar trebui să memorați parola XwyHJLKSq345 pentru a putea accesa o rețea WiFi. (Dacă chiar sunteți puși în situația asta, mintea se va strădui să găsească niște legături logice în succesiunea de mai sus pentru a găsi o formulă mnemotehnică.)
Pe termen lung, însă, câștigați timp pentru că elevul poate construi mai departe pe acele înțelegeri, le poate recupera făcând referire la ancorele pe care i le-ați dat când ați făcut învățarea memorabilă și nu mai e nevoie de repetiții atât de dese sau de redundante pentru a fluidiza practica.
În plus, dacă graba de a „acoperi” materia duce la rezultate slabe și creează și mai multă inechitate în clasă, este acesta rezultatul pe care vi-l doriți, pe care ni-l dorim la nivel de întreg sistem?
2. Examenele nu cer înțelegerea profundă, doar aplicarea procedurilor
❌ Provocare: „Trebuie să pregătesc elevii pentru examen."
✅ Soluție: Abordarea conceptuală nu exclude aplicarea procedurilor, ba chiar o însoțește, asigurând performanța.
Și acest motiv reflectă o realitate - evaluările cu miză prioritizează aplicarea unor proceduri, fără să ceară adesea înțelegerea conceptuală, ceea ce face ca abordarea conceptuală să fie și mai excentrică.
Dar, deși examenele de acum pun accent pe aplicarea procedurilor, învățarea conceptelor fundamentale nu trebuie să fie un obiectiv opus. Dacă rolul unui profesor de matematică este, de fapt, să formeze gândire matematică, deci să ajute elevul să raționeze matematic în situații noi, atunci misiunea lui trebuie să treacă dincolo de un examen. Iar acesta poate și trebuie să evolueze, pentru a reflecta capacitatea elevilor de a gândi critic și de a aplica ceea ce știu în contexte noi.
Ambele obiective pot fi împlinite, chiar dacă în proporții diferite în ani diferiți. Înțelegerea conceptuală ajută, nu încurcă, aplicarea procedurilor, dând mai multă forță procesului care justifică rezultatul.
Și dacă examenele nu cer înțelegere neapărat, ce mai măsoară ele în realitate?
3. Lipsa de motivație a elevilor pentru abordarea conceptuală
❌ Provocare: „Am încercat să solicit elevii să gândească, dar ei nu par interesați."
✅ Soluție: Abordarea conceptuală necesită timp, dar și pregătire mai bună pentru a găsi legăturile cu viața reală și a forma rutine care să motiveze.
Adesea elevii preferă să învețe prin metode rapide și simple. Profesorii se confruntă adesea cu reticență din partea elevilor atunci când li se solicită gândirea sau chiar trebuie să contribuie, prin sarcini individuale sau de grup.
Dar multe cercetări arată că învățarea conceptuală îmbunătățește nu doar performanțele academice ale elevilor, dar și motivația lor, prin creșterea încrederii în propriile abilități de a rezolva probleme matematice într-un mod mai profund pe care îl înțeleg. (EURASIA J Math Sci Tech Ed, 2023 ; International Journal of Educational Studies in Mathematics; British Journal of Educational Psychology, 2016).
Când porniți de la probleme reale și arătați cum le puteți „traduce” în matematică, motivația și implicarea elevilor crește în timp. Când elevii înțeleg de ce un concept este relevant pentru ei și cum poate fi aplicat în situații reale, devin mult mai dornici să-l exploreze. Așa că abordarea conceptuală poate stimula curiozitatea și poate face învățarea mai plăcută.
În plus, reticența inițială a elevilor nu trebuie luată ca o dovadă pentru eșecul metodei. Ea trădează mai degrabă dinsconfortul ieșirii din zona de confort, adică terenul fertil pentru învățare, care implică efortul de a gândi. Cu cât o fac mai des, cu atât efortul devine mai ușor, iar suferința mai mică.
Oare este încântarea feedback-ul necesar pentru ca învățarea să se producă? A cui e misiunea să declanșeze disconfortul pe care îl implică adesea gândirea profundă, chiar și când nu ai chef?
Concluzie
Dacă fiecare dintre noi am fi un Gilles și am preda limba numită matematică învățăceilor noștri, am avea nevoie să îi înțelegem rostul și legăturile, nu doar să aplică mecanica. Altminteri ne vom trezi asemenea personajului comandantului nazist din filmul Lecții persane (nu dau spoiler).
📌 Când privim matematica ca pe un limbaj pentru descrierea relațiilor, tiparelor și structurilor, deschidem noi posibilități de a înțelege valoarea sa reală. În loc să memorăm formule sau să aplicăm proceduri după șablon în simulare după simulare, putem privi matematica ca pe un instrument care ne ajută să explicăm lumea din jurul nostru și chiar să facem predicții - de la cum ne împărțim resursele la cum luăm decizii în funcție de șansa unor evenimente de a se întâmpla.
📌 E mai puțin despre CE-uri și mai mult despre DE CE-uri, despre cum putem găsi noi feluri de a abstractiza, de a găsi analogii între obiecte de diferite tipuri, de a rezolva probleme.
📌 În ciuda obstacolelor care fac abordarea conceptuală mai dificilă la prima vedere și mai costisitoare ca timp investit în pregătire și predare, dacă adoptăm această perspectiva conceptuală, putem transforma modul în care abordăm matematica, făcând-o cu adevărat transferabilă și relevantă.
Iată trei pași concreți prin care puteți începe transformarea în clasele voastre chiar de săptămâna viitoare:
Alegeți un singur concept pe care îl veți preda în următoarele două săptămâni și găsiți o situație din viața reală care îl ilustrează. Poate fi vorba despre reduceri la magazine pentru procentaje, despre rețete pentru fracții sau despre grafice din știri pentru funcții.
Înainte de a prezenta orice formulă sau procedură, dați elevilor șansa să descopere singuri tipare și conexiuni. Puneți întrebări precum „Ce observați?", „Ce credeți că se va întâmpla dacă...?" și „De ce credeți că e așa?".
Cereți feedback de la elevi după această experiență diferită de învățare. Ce au înțeles mai bine? Ce i-a confuzat? Folosiți răspunsurile lor pentru a rafina abordarea la următorul concept.
La DataMathLab, asta țintim: să construim acel „laborator” în care profesorii să descopere că merită să aibă curajul de a testa în clasele lor această abordare care face matematica mai mult despre procesul de a gândi autonom, de a rezolva probleme pornind de la contexte autentice în care matematica ascunsă devine vizibilă, accesibilă și relevantă pentru toți.
Autor: Măriuca Morariu
29 ianuarie 2025