Lecția 6: Aplicații ale fracțiilor zecimale (probleme practice, periodicitate, media aritmetică)

(Durata: 3 ore)

 

Scop

Elevii utilizează operațiile cu fracții zecimale pentru rezolvarea de probleme în contexte practice (cotidiene) folosind regulile de calcul.

Competențe specifice

2.2. Efectuarea de calcule cu fracții folosind proprietăți ale operațiilor aritmetice
4.2. Utilizarea limbajului specific fracțiilor/procentelor în situații date
5.2. Analizarea unor situaţii date în care intervin fracții pentru a estima sau pentru a verifica  validitatea unor calcule
6.2. Reprezentarea matematică, folosind fracțiile, a unei situaţii date, în context intra și  interdisciplinar (geografie, fizică, economie etc.)

Marea idee /
Întrebări esențiale

Fracțiile zecimale sunt folosite pentru a obține modele matematice care reprezintă în mod fidel situații reale. 
Cum efectuez operațiile cu fracții zecimale? (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) Cum folosesc calculele cu fracții zecimale pentru a rezolva probleme?

Neînțelegeri / greșeli tipice

Unii elevi aplică formula de calcul a mediei aritmetice pentru mai multe numere redusă la media aritmetică pentru două numere. Adesea elevii ignoră ordinul de mărime al mediei (poziționarea între numărul minim și numărul maxim).

O altă greșeală frecventă este transformarea fracției ordinare cu numărător 1 (de forma 1/n) în fracție zecimală folosind numitorul: 1/6=0, 6 sau 1/6=1,6.

Unii elevi generalizează legăturile dintre fracția ordinară și zecimală sub forma: 4/7=0,47.

În fine, elevii pot greși când încearcă să rezolve problemele efectuând operații între numerele care apar în textul problemei, fără să înțeleagă operația care trebuie efectuată pentru a rezolva corect problema.

Note

În această lecție, elevii vor exersa operații cu fracții zecimale, pentru: 

  • a transforma fracțiile ordinare (care au numitori numere naturale nenule oarecare) în fracții zecimale și fracțiile zecimale periodice în fracții ordinare, 

  • a rezolva probleme din viața de zi cu zi,

  • a calcula media aritmetică a două sau mai multe numere.

Această lecție, pe lângă faptul că pune elevii în situația de a exersa operațiile zecimale și de a le descoperi utilitatea, oferă elevilor ocazii de a-și extinde înțelegerea fracțiilor zecimale și a operațiilor cu fracții zecimale - de exemplu, parcurgerea pașilor din activitatea Provocarea 1: Labirintul amăgitor îi va sprijini pe elevi să înțeleagă că nu orice înmulțire conduce la un număr mai mare, și nu orice împărțire conduce la un număr mai mic.

Activitățile Provocarea 2: De la fracții ordinare la fracții zecimale și Provocarea 3: De la fracții zecimale (periodice) la fracții ordinare completează lecția 1 în care elevii au învățat să transforme fracții ordinare în fracții zecimale și invers în situația în care numitorii sunt produs de puteri ale divizorilor lui 10.

Rezolvarea de probleme (Provocarea 5: Fracțiile zecimale în probleme) este abordată din perspectiva alegerii operației necesare pentru rezolvarea problemei. Elevii sunt ghidați în analiza textului problemei pentru a înțelege structura problemei (datele problemei și cum interacționează unele cu altele) pentru a dezvolta strategii de identificare a operației / operațiilor care rezolvă (corect) problema. 

Activitatea Provocarea 6: Media aritmetică introduce noțiunea de medie aritmetică pe care elevii o folosesc apoi în rezolvarea de exerciții și probleme. În cadrul acestei activități apar și elemente de organizare a datelor, parte din competențele de data science.

E important ca elevii să descopere, cu ajutorul dvs:

  • regulile de transformare a fracțiilor ordinare în fracții zecimale și invers, 

  • regulile de calcul a mediei aritmetice,

  • strategiile de rezolvare a problemelor.

Intro

Amintiți elevilor că lecția de azi se leagă cu tot ce au studiat în unitatea fracțiilor, începând cu cele ordinare. Vor avea parte de jocuri și provocări și vor rezolva probleme cu care se pot întâlni în viitor.

Cuprins

Provocarea 1: Labirintul amăgitor
Pasul 1: Găsește singur drumul prin labirint: activitate independentă - cu ajutorul calculatorului de pe telefon.

Fiecare elev primește câte o fișă cu Labirintul amăgitor (alternativ, proiectați imaginea în clasă) și trebuie să respecte regulile precizate:

  • Să aleagă o cale în labirintul de pe TABLA DE JOC, de la START până la FINISH, astfel încât să ajungă la final cu cea mai mare valoare posibilă.

  • Să introducă pentru început, numărul 100 în calculatorul de pe telefon.

  • Odată ce a intrat în labirint, trebuie să se deplaseze cu calculele,  doar în jos, sau orizontal. Nu are voie să se deplaseze în sus.

  • Fiecare pas al traseului se notează pe fișă.

  • Justifică traseul ales.

Pasul 2: Compară și găsește drumul prin labirint, cu un coleg: activitate în perechi
Elevii confruntă în perechi traseele alese și discută împreună pentru a justifica alegerile făcute.

Pasul 3: Concluzii și AHA-uri
Discutați în plen, folosindu-vă de răspunsurile elevilor și subliniați că nu orice înmulțire conduce la un număr mai mare și nu orice împărțire conduce la un număr mai mic. De fapt, înmulțirea cu o fracție zecimală sub 1 duce la un număr mai mic. În pașii următori veți deduce regula folosind cele învățate din unitatea fracții ordinare (înmulțirea cu o fracție subunitară scade rezultatul final). 

Provocarea 2: De la fracții ordinare la fracții zecimale
Pasul 1: Folosiți ca punct de plecare împărțirea 100 : 0,6 din Labirintul amăgitor, întrebându-i pe elevi dacă au început cu această împărțire și ce rezultat au obținut.

Pasul 2: Elevii sunt provocați să efectueze această împărțire și fără ajutorul calculatorului. După ce elevii ajung la împărțirea 1000 : 6, explicați-le modul de efectuare a împărțirii și ce înseamnă o fracție periodică, precum cea obținută ca rezultat. 

Pasul 3: Scrieți împărțirea 1000 : 6 sub forma fracției ordinare 1000/6 și arătați cum o fracție ordinară se poate transforma într-o fracție zecimală prin împărțirea numărătorului la numitor. Folosiți mai multe exemple* pentru a arăta că prin transformarea unei fracții ordinare în fracție zecimală se pot obține: fracții zecimale finite (așa cum au văzut în lecția 1), fracții periodice simple și fracții periodice mixte.

Puteți folosi ca exemple: 1/3=0,(3)  ; 4/33=0,(12)  ; 343/300=1,14(3) 

Provocarea 3: De la fracții zecimale (periodice) la fracții ordinare
Proiectați, pe rând, următoarele clipuri scurte, provocându-i pe elevi să urmărească cu atenție, astfel încât să deducă o regulă de scriere a unei fracții zecimale periodice sub formă de fracție ordinară.

Provocarea 4: Găsește-ți prietenii!
Jocul este conceput pentru a se fixa regulile de scriere a fracțiilor ordinare sub formă zecimală (periodică) și invers. Cuprinde 32 de fragmente de puzzle și este realizat pentru un număr de elevi care este multiplu de 4. Puteți adăuga sau elimina fragmente în funcție de clasa dvs.

Fiecare elev primește câte o piesă de puzzle din cele decupate din Puzzle-fracții periodice și trebuie să își caute colegii care au o piesă cu aceeași valoare. Pentru a-și găsi „prietenii”, vor avea nevoie de multe ori să calculeze în scris.

Provocarea 5: Fracțiile zecimale în probleme (fișa)

1. Cât costă vopseaua?

  • Explicați cât mai simplu ce înseamnă „proporțional”: costul depinde de cantitatea de vopsea și dacă aceasta, de exemplu, se dublează, și costul se dublează.

  • Elevii lucrează în perechi, folosind un calculator. 

  • Observați abordările elevilor și clarificați eventualele nelămuriri. 

  • După ce au rezolvat problema, provocați elevii la o discuție despre metodele folosite. Subliniați că prețul unei cantități de vopsea se obține de fiecare dată prin înmulțirea cantității cu prețul unui kg - 12 lei.

2. Câte zile a jucat fotbalistul ?

  • Lucrând în perechi, elevii continuă cu problema 2. 

  • Lăsați 5 minute și după ce au rezolvat problema, discutați în plen, invitând alți voluntari să propună rezolvarea. 

  • Subliniați că pentru a afla timpul de lucru în zile a unui fotbalist, se împarte suma de pe o zi la suma primită.

3. Corectează lucrarea Ioanei

  • Lăsați perechile să își împartă cele 6 probleme și să le rezolve individual.

  • Elevii discută în perechi alegerile făcute.

  • Discutați cu elevii și confirmați rezolvările corecte. Subliniați că în rezolvarea acestor tipuri de probleme este utilă metoda înlocuirii numerelor din problemă cu unele care ar duce la un calcul rapid din care și-ar da seama dacă trebuie să facă înmulțire sau împărțire.

Provocarea 6: Media aritmetică

Pasul 1. Activitate Gândiți - Lucrați în perechi - Comunicați (GLC)
Propuneți elevilor spre rezolvare următoarea problemă: Niște elevi au vrut să afle dacă în grupul lor este mai populară matematica sau istoria. Fiecare elev a apreciat fiecare materie, folosind următoarea scală: 1 - îmi displace mult; 2 - îmi displace parțial; 3 - nici nu-mi displace, nici nu îmi place; 4 - îmi place parțial; 5 - îmi place mult. 

Imaginea de mai jos prezintă rezultatele:

A. Calculați:
- Valoarea medie a aprecierii pentru matematică este …..
- Valoarea medie a aprecierii pentru istorie este …… .

B. Conform aprecierilor, cea mai populară materie pentru elevii acestui grup este: … .
(Item M04-12A, TIMSS 2007)

Elevii lucrează individual, apoi în perechi.
Invitați 2-3 perechi să prezinte modul în care au gândit rezolvarea problemei. 
Discutați semnificația sintagmei „valoare medie a aprecierii”. Subliniați modul în care se calculează valoarea medie a fiecărui set de date precum și faptul că valorile medii determinate trebuie să fie numere mai mari decât cea mai mică valoare din setul de date (1 - pentru această problemă) și mai mici decât cea mai mare valoare din setul de date (5 - pentru această problemă).

Introduceți definiția mediei aritmetice a două sau mai multe numere.

Puteți ilustra ideea de medie aritmetică (și noțiunile minim și maxim) pornind de la un grafic al cursului EUR (sept 2021).

Pasul 2. Activitate în perechi (online)
Invitați elevii pe aplicația Geogebra despre media aritmetică (sau proiectați exercițiul în clasă) pentru a explora modul în care schimbarea valorilor dintr-o media aritmetică modifică valoarea mediei. 

Invitați alți 2-3 elevi care nu au mai răspuns să prezinte ce au observat.

Pasul 3. Activitate pe grupe 
Împărțiți sala în grupe și invitați elevii să rezolve sarcinile de lucru din Fișa cu aplicații ale mediei aritmetice. 

Monitorizați activitatea grupelor și apoi, invitați reprezentanți din diferite grupe să prezinte modul în care au rezolvat câte o sarcină de lucru. 

Folosiți-vă de răspunsurile celorlalte grupe pentru a clarifica eventualele neînțelegeri și invitați elevii să se autoevalueze cât mai mult.

Încheiere

Folosiți ultimele minute pentru a verifica înțelegerea - recomandăm să folosiți o aplicație online (precum Teleskop sau Google form) sau să cereți elevilor să scrie pe caiete:

  • cât de mult le-a plăcut lecția de azi, pe o scară de la 1 la 5

  • ce întrebări au despre cele învățate azi.

Datele astfel colectate din biletul de ieșire vor fi prelucrate în cadrul lecției următoare. Dacă elevii scriu pe caiete, începeți lecția cu media aritmetică a notelor pe care le-a acordat fiecare.

Resurse descărcabile

Extra (studiu independent)

Ariana-Stanca Văcărețu, Daniela Vasile, Liliana Olărașu, Simona Covrig

Autori

Clasa a V-a, Fracții zecimale

Categorii

 

Material realizat sub licență Creative Commons 4.0 CC BY-NC-SA Atribuire-Necomercial-Partajare în Condiții Identice (puteți folosi materialul gratuit cu menționarea sursei)

data scienceEchipa Aspire Teachers