Lecția 12: Împărțirea fracțiilor

(Durata: 1 oră)

Scop

Elevii vor învăța împărțirea fracțiilor ordinare și o vor aplica în contexte practice.

Competențe specifice

2.2. Efectuarea de calcule cu fracţii folosind proprietăţi ale operaţiilor aritmetice
3.2. Utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaţiilor cu fracţii ordinare sau zecimale
5.2. Analizarea unor situaţii date în care intervin fracţii pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule

Neînțelegeri / greșeli tipice

Unii elevi confundă împărțirea la ½ cu împărțirea la 2 (la un calcul de tipul \(4 \div \frac{1}{2}\) elevii pot raspunde 2). Altă confuzie frecventă e împărțirea la un număr întreg - înlocuită cu împărțirea numitorului la acel număr \(\frac{1}{{12}} \div 2 = \frac{1}{6}\).
Unii elevi nu aplică corect inversarea fracțiilor în împărțire și împart numitorii, de ex. \(\frac{1}{4} \div \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\).

Note

În această lecție, prin diverse aplicații, elevii vor descoperii modalitatea de a împărți două fracții ordinare. Pornind de la un exemplu cu bucăți de tartă și plăcintă, se deduce regula de împărțire.

Exersarea se realizează prin aplicații ASQ și fișa de lucru.

Intro

Reluați în prima parte Jocul jetoane matematice pentru a consolida regulile de calcul cu puteri. Arătați ce se întâmplă cu rezultatul când ridicăm numitorul la o putere mare, respectiv când ridicăm numărătorul la o putere mere. 

Amintiți elevilor că mai au doar o „stație” înainte de recapitularea din acest capitol. 

Propuneți provocarea: Pentru o petrecere, Ioana comandă trei plăcinte și patru tarte. Porția fiecărui invitat este: o treime dintr-o plăcintă și un sfert din dintr-o tartă.

Discuție:

1. Câți invitați pot mânca din cele trei plăcinte? De ce?

2. Câți invitați pot mânca din cele 4 tarte? De ce?

Permiteți mai multe strategii de rezolvare (prin reprezentare, de exemplu).

Pentru a afla numărul de porții de plăcintă, operația efectuată este \(3 \div \frac{1}{3}\) (trei plăcinte împărțite la o treime, cât e porția per invitat).
Elevii pot descompune problema în părți mai simple, și anume: Într-o plăcintă câte porții sunt? Răspunsul natural este 3. Dar în trei plăcinte? \(3 \cdot 3 = 9\) porții.
Se observă că rezultatul împărțirii lui 3 la \(\frac{1}{3}\) este același cu rezultatul înmulțirii lui 3 cu inversul lui \(\frac{1}{3}\).
Analog, întrebarea cu cele patru tarte se rezolvă în același fel: \(4 \div \frac{1}{4} = 4 \cdot \frac{4}{1} = 16\).

Cuprins

Discutați cu elevii, pentru ca ei să înțeleagă ce rezultat produce împărțirea fracțiilor: cum este câtul față de deîmpărțit?

De ce, dacă am efectuat o împărțire, este mai mare?  

\(3 \div \frac{1}{3} = 9\)

Elevii ar putea observa că împărțirea la o fracție subunitară duce la un rezultat mai mare, exact invers cum se întâmplă la înmulțire. 

Generalizați regula: Împărțirea a două fracții \(\frac{a}{b}\), \(\frac{c}{d}\) este produsul dintre prima fracție și inversa celei de-a doua. \[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\]

Ca și la înmulțire, se pot face simplificări înainte și după înmulțire. Deoarece linia de fracție este asociată operației de împărțire, putem avea și problema:

Pentru a înțelege de ce împărțirea fracțiilor înseamnă, de fapt, înmulțirea cu inversa fracției, vă puteți inspira din clipul video de la Khan Academy (cu subtitrare în română) care arată și reprezentarea prin desen a operației de împărțire a unei fracții la un număr întreg.

Exersare
ASQ - 9 operații de împărțire cu fracții ordinare

Verificați frontal răspunsurile.

Lucru în perechi
Puteți împărți clasa în perechi cu număr par și impar - perechile pare rezolvă problemele 2 și 4, iar cele impare 1 și 3 din fișa propusă (o puteți proiecta pe tablă).

Discuție
Ce alte metode de rezolvare propuneți? (Invitați un elev să facă o reprezentare vizuală a unei probleme)
Ce dificultăți au întâmpinat? Invitați elevii să descopere propriile intuiții greșite. 

Diferențiere

Pentru perechile avansate, lansați provocarea: formulați o problemă care poate fi rezolvată cu operația \(\frac{6}{10} \div \frac{1}{20} \). Dacă problema e corect formulată, o puteți propune altor clase.

Încheiere

Ce i-a surprins la lecția despre împărțirea fracțiilor ordinare?
Consolidați ideea că la împărțire, totul e pe dos: e înmulțirea cu inversa fracției; împărțirea la o fracție subunitară duce la un rezultat mai mare (spre deosebire de înmulțirea cu o fracție subunitară).
Verificați și transformați, dacă e cazul, problema formulată de elevi pentru operația dată.

Resurse descărcabile

Recapitulare: Jocul jetoane matematice (docx)
Fișa: probleme cu fracții (împărțiri) (pdf)

Extra (studiu independent)

Wordwall: exerciții cu împărțiri de fracții ordinare

Autori

Diana Băleanu

Categorii

Clasa a V-a, Fracții ordinare

Material realizat sub licență Creative Commons 4.0 CC BY-NC-SA Atribuire-Necomercial-Partajare în Condiții Identice (puteți folosi materialul gratuit cu menționarea sursei)