Lecția 1: Produsul cartezian a două mulțimi nevide
(Durata: 1 oră)
Scop
Elevii vor identifica perechile ordonate și numărul acestora în diferite situații întâlnite în viața cotidiană și în jocuri binecunoscute.
Competențe specifice
4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor
Neînțelegeri / greșeli tipice
Numeroși elevi nu țin cont de ordinea componentelor/ elementelor unei perechi ordonate.
Marea idee
Produsul cartezian face legătura între algebră și geometrie.
Note
În această lecție, elevii sunt provocați să răspundă la câteva întrebări legate de utilitatea perechilor ordonate. Pentru a identifica răspunsurile la întrebări, elevii vor explora noțiunea de pereche ordonată în cadrul mai multor activități de învățare în grup.
Clasa este organizată în echipe de câte 4-5 elevi.
În cadrul echipelor fiecare elev are o responsabilitate:
Arbitrul - cel care va citi colegilor sarcinile de lucru: va citi cu voce tare (în cadrul grupei) sarcina de lucru și se va convinge că fiecare membru a înțeles mesajul.
Prezentatorul - cel care va prezenta la sfârșit soluția dată de echipă: își va nota răspunsul (cu justificare) la care a ajuns echipa la fiecare provocare și îl va prezenta în plen.
Evaluatorul - cel care răspunde de atmosfera de lucru, de completarea răspunsurilor de către fiecare membru: va avea grijă să existe cooperare, interes și spirit civic în cadrul echipei.
Secretarul general - cel care notează diferite probleme sau întrebări: va urmări cu atenție dacă toți din echipă înțeleg, va nota eventualele contradicții sau nelămuriri.
Veți folosi aceste roluri și pentru alte activități de lucru în echipă din cadrul unității.
În cadrul activităților, elevii vor avea la dispoziție fișe de lucru. Asigurați-vă că fiecare elev primește fișele, chiar dacă activitatea se desfășoară în grup.
Fișele pot fi descărcate din „Resurse descărcabile”. Anexa 2 - Lecția 1 conține cartonașele cu care vor lucra elevii - de aceea, recomandăm ca înainte de lecție să tipăriți și să tăiați cartonașele pentru fiecare elev.
Soluția exercițiului 4 din Anexa 3 - Lecția 1 se găsește aici.
Activitățile de învățare în grup permit evaluarea formativă, iar feedback-ul individual și frontal (în cazul în care mai mulți elevi fac aceeași greșeală) sunt bune ocazii de a corecta erorile și a accelera învățarea.
Intro
Anunțați noua unitate, planul de învățare și prima lecție din această unitate. Spuneți elevilor că până la finalul unității vor conduce o investigație și vor colecta date despre colegii lor.
Întrebările lecției
Lansați elevilor câteva întrebări:
În ce situații întâlnim perechi ordonate (sau nu) în viața de zi cu zi? (Eventual, dați elevilor câteva exemple, ca indiciu: perechile de persoane la un dans de societate, perechile de elevi la o întrecere de șah, segmentele determinate de niște puncte de pe o dreaptă, etc.)
Este importantă, oare, ordinea în care alegem elementele mulțimilor?
La ce ne folosesc perechile ordonate?
Invitați elevii să răspundă oral; nu corectați răspunsurile elevilor, notați-le pe tablă/ pe o coală de flipchart, veți reveni la aceste întrebări la finalul lecției.
Provocarea 1: Contează ordinea?
Fiecare elev primește fișa de lucru cu numele Anexa 1 - Lecția 1
Elevii vor lucra în echipe, profesorul va urmări discuțiile lor, iar la sfârșit se vor prezenta răspunsurile, urmând ca acestea să fie discutate.
Cuprins
Provocarea 2: Câte numere?
Distribuiți fiecărui elev cartonașele tăiate, așezate într-un plic (le găsiți în Anexa 2 - Lecția 1).
Formați numere de două cifre cu ajutorul acestor cartonașe, astfel încât cele albe să reprezinte cifra zecilor și cele gri cifra unităților.
Care este numărul cel mai mare? Câte astfel de numere se pot forma în total?
Dar dacă cele gri reprezintă cifra zecilor …
Care este numărul cel mai mare? Câte astfel de numere se pot forma în total?
Elevii vor lucra în echipe pentru a rezolva sarcina de lucru de mai sus. Urmăriți discuțiile lor, iar la sfârșit elevii vor prezenta răspunsurile, urmând ca acestea să fie discutate cu întreaga clasă.
Definiți produsul cartezian a două mulțimi nevide.
Fie A și B două mulțimi nevide.
Mulțimea perechilor ordonate (a, b), unde a este din mulțimea A, iar b este
din mulțimea B, se numește produsul cartezian al mulțimilor A și B.
A × B = {(a,b) / a∈A și b∈B}
Exemplu:
A = {-3, -1, 0, 2}; B = {-2, -1, 0 }
A × B = ? B × A = ?
A × B = {(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0), (0, -2), (0, -1), (0, 0), (2,-2), (2, -1), (2, 0)}
B × A = {(-2, -3), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 2), (-1, -3), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 2), (0,-3), (0,-1), (0, 0), (0, 2)}
Observație:
(a, b) ≠ (b, a) și A × B ≠ B × A, adică produsul cartezian nu are proprietatea de comutativitate.
René Descartes
Matematician și filozof francez
Pentru ca elevii să înțeleagă de unde provine denumirea de produs cartezian, accentuați faptul că denumirea „cartezian” provine de la numele matematicianului și filosofului francez René Descartes iar cuvântul „produs” ar putea proveni din modalitatea de calcul a cardinalului mulțimii A x B atunci când A și B sunt finite. Folosiți ocazia să aduceți un fragment de istorie și filosofie în atenția elevilor, menționând rolul important al lui Descartes în revoluția științifică (secolul XVII), care a contestat autoritatea filosofilor dinaintea lui și e cunoscut pentru celebra afirmație „Cuget, deci exist.”
Puneți în evidență faptul că produsul cartezian este o operație între mulțimi, și nu între numere.
Provocarea 3: Am înțeles?
Elevii vor primi fișa de lucru cu numele Anexa 3 - Lecția 1 și vor lucra în echipe pentru a rezolva exercițiile 1 și 3 a).
Urmăriți modul în care elevii lucrează, sprijiniți elevii/ echipele care au nevoie de ajutor. Elevii vor prezenta răspunsurile
Încheiere
Răspunsuri la întrebările lecției
Reveniți la întrebările de la începutul lecției și solicitați elevilor să formuleze, din nou, răspunsuri la acestea.
În ce situații întâlnim perechi ordonate în viața de zi cu zi?
Este importantă, oare, ordinea în care alegem elementele mulțimilor?
La ce ne folosesc perechile ordonate?
Temă:
Rezolvarea exercițiilor 2, 3 b) și 4 din Anexa 3 - Lecția 1.
Opțional: invitați elevii să afle mai multe despre Descartes și să împărtășească ce au aflat cu colegii la începutul orei viitoare.
Resurse descărcabile
Anexa 1 - Lecția 1 (docx)
Anexa 2 - Lecția 1 (docx)
Anexa 3 - Lecția 1 (docx)
Soluție - Anexa 3 - Lecția 1 (png)
Extra
Despre produsul cartezian a două mulțimi nevide (definiție, exemple): Mquest
Test evaluare produs cartezian: Lecții-virtuale
Despre produsul cartezian a două mulțimi nevide (teorie și 2 exerciții): Mathema.ro
Autori
Ariana-Stanca Văcărețu, Margit Dénes