Lecția 3: Funcția de gradul I

Durata: 2 ore

Scop

Elevii învață se exprime probleme din situații reale cu ajutorul funcțiilor. Ei vor putea identifica limitările unor reprezentări grafice bazate pe constrângerile din lumea reală asupra cantităților. Folosind mai multe reprezentări ale relațiilor liniare neproporționale, elevii vor înțelege semnificația punctului de intersecție al graficului funcției liniare cu axa Oy, respectiv a soluției ecuației de gradul I

Competențe specifice

3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu scopul caracterizării acestora
Minim: Determină puncte care aparțin graficului unei funcții numerice date.
Mediu: Reprezintă grafic funcții numerice.
Maxim: Justifică soluția unei probleme utilizând lecturi grafice.

5.3. Analizarea unor funcţii în context intra și interdisciplinar
Minim: Verifică dacă un punct aparține graficului unei funcții. Determină algebric / estimează grafic punctul de intersecție a graficelor a 2 funcții liniare.
Mediu: Aplică teoria specifică funcțiilor pentru rezolvarea unor sarcini cu conținut practic sau geometric (distanțe, măsuri de unghiuri, perimetre, arii).
Maxim: Investighează coliniaritatea a 3 sau mai multe puncte.

6.3. Modelarea cu ajutorul funcţiilor a unor fenomene din viața reală
Minim: modelează fenomene liniare deterministe.
Mediu: evaluează informații din textul unei probleme, formulează ipoteze, modelează fenomene liniare deterministe și verifică gradul de corectitudine a rezultatelor.
Maxim: proiectează un model pentru a rezolva o situație reală, scrie corect rezolvarea matematică și verifică gradul de concordanță a rezultatelor cu situația reală.

Neînțelegeri / greșeli tipice

Este posibil ca un elev să reprezinte corect un context real prin ecuații, dar nu și grafic, sau să identifice mai ușor rata de creștere analizând datele dintr-un tabel comparativ cu reprezentarea grafică.

Există mai mulți indicatori care pot descrie caracteristici diverse ale unui set de date si o folosire limitată a lor poate distorsiona concluziile statistice pe care ne bazăm descrierea datelor sau/și prognoza.

Înțelegere conceptuală

O funcție poate fi descrisă în mai multe moduri echivalente (diagrame, tabele, formule, desene, grafice).
Unele fenomene din viața reală pot fi modelate prin funcții care permit analiza lor.

Note

Majoritatea aplicațiilor pentru următoarele două lecții sunt din contexte reale. Alegeți și propuneți spre rezolvare acele aplicații care se potrivesc nivelului clasei și intereselor elevilor. 

Temele pentru acasă pot fi exerciții din manuale sau auxiliare curriculare, sau aplicații realizate pe platformele Desmos sau Quizizz, pe care vă puteți crea cont gratuit și puteți prelua clase din Classroom, dacă le aveți create pe platforma Google. Dacă nu, clasele pot fi create direct pe acele platforme.

Planul de activități încurajează construirea sensului pornind de la situații din viața reală sau familiare elevilor. Mina de aur este o activitate prin care elevii exersează „traducerea” din limbaj natural în notațiile funcțiilor și o ocazie bună de a introduce funcțiile de gradul I. Pentru fiecare caz particular (funcții liniare, funcții constante), veți găsi exemple care arată cum sunt utile în diferite domenii.

Următoarea activitate (problema cu companiile de taxi) e similară cu cea din evaluarea sumativă și ea arată utilitatea egalității dintre funcții liniare. O activitate suplimentară (cele 4 colțuri) e recomandată pentru a verifica înțelegerea întregii clase într-un timp relativ scurt înainte de a avansa cu reprezentarea geometrică a graficului unei funcții. 

Veți avea nevoie de videoproiector și conexiune la internet pentru activitatea cu aterizarea avionului (în Desmos) care e gândită pentru ca elevii să exerseze ecuației unei drepte. Dacă nu au tablete / mobile, puteți rămâne în modul profesor și lucra cu elevi voluntari care răspund în aplicația Desmos, proiectată pe tablă.

Puteți selecta diferite probleme în funcție de nevoile și (ne)înțelegerile clasei din selecția generoasă cu aplicații practice (resursă descărcabilă la final).

Intro

Începeți lecția cu răspunsurile la întrebările notate de elevi pe fișele de evaluare formativă din ora precedentă și cu reamintirea noțiunilor învățate. 

Puteți folosi metoda „ruleta recapitulării” - un elev numără de la 1 la 6 (câte aplicații sunt în fișa 4 din lecția anterioară, cu selecția aplicațiilor cu reprezentări de funcții), iar altul spune „stop”. Citește enunțul cu voce tare (puteți proiecta pe tablă problema din fișă) și elevi voluntari răspund. Indiferent de răspuns, asigurați-vă că restul clasei urmărește, întrebați-i dacă sunt de acord, dacă mai au completări și solicitați și răspunsurile altor elevi. 

Cuprins

Activitatea 1 - Mina de aur

Prezentați elevilor următoarea problemă (oferiți fișa pentru fiecare bancă sau proiectați-o pe tablă.) Puteți folosi rutina Gândiți individual - Lucrați în perechi - Comunicați clasei (GLC).

Cele mai adânci mine de aur din lume se află în Africa. Mina TauTona are 3,9 km adâncime, dar a fost depășită de mina Mponeng, a cărei adâncime este de aproximativ 4 km. Temperatura în partea superioară a minelor este de 11ºC și crește cu o rată de 0,015ºC/m pe măsură ce se coboară.

a) Lansați prima întrebare: cum putem vedea temperatura din mină ca o funcție?

Lăsați mai mult timp de gândire pentru ca elevii să înțeleagă datele problemei. Observați cum lucrează în perechi și încurajați-i să comunice cum gândesc, chiar dacă fac erori. 

Scoateți la iveală cum au „tradus” datele problemei în limbaj matematic. Care e variabila dependentă? Dar cea independentă? Acestea două ne ajută să găsim funcția. Aici, temperatura depinde de adâncime (ea crește cu cât crește adâncimea). Deci adâncimea este variabila independentă (intrarea), în timp ce temperatura este variabila dependentă (ieșirea).

Deci, funcția este T(d) = 11+0,015 d, unde T reprezintă temperatura în ºC, iar d reprezintă adâncimea în metri.

b) Acum întrebați-i care e temperatura din partea de jos a minelor TauTona și Mponeng?

Puteți relua rutina GLC dacă a funcționat bine. 

Aici problema implică două elemente:

  • elevii trebuie să înțeleagă că e vorba de temperatura la cea mai mare adâncime pentru fiecare mină - deci 3.9km, respectiv 4km.

  • e important ca elevii să facă și transformarea km->m pentru că rata de creștere e exprimată în ºC/m.

Deci, T(3900) = 11+0,015·3900 = 69,5
T(4000) = 11+0,015·4000 = 71

Aflați cum au ajuns la rezultat și ajutați-i să vadă funcția într-un grafic.

 

Întrebați-i: ce observă la forma funcției?
Există o parte care variază și depinde de adâncime, respectiv un termen constant (temperatura la suprafață). 
Graficul este o dreaptă.
Care e variabila independentă? (adâncimea) Dar cea dependentă? (temperatura) 

Generalizare
Așa puteți ajunge la definiția funcției de gradul I: f:ℝ→ℝ, f(x) = ax + b, cu a<>0
Următoarele concepte sunt particularizări pentru b=0, respectiv a=0:
Dacă b = 0, o funcție de forma f:ℝ→ℝ, f(x) = ax se numește funcție liniară.
Unde găsim astfel de funcții în viața reală?
E vorba de relații de directă proporționalitate, cum sunt cele între cât cheltui și ce primesc: dacă prețul unui ou e 2 lei (și nu primesc reducere indiferent de câte ouă cumpăr), atunci funcția mea ar fi f(x)=2x
Deci îmi multiplic o cantitate (ouăle) în funcție de cât cheltui (preț). Observați expresia „în funcție de”?

Dacă timpul permite, cereți elevilor și alte exemple de directă proporționalitate (pe care le-au studiat în trecut). Acum au șansa să descopere că ele se pot exprima cu ajutorul funcțiilor (distanța parcursă cu o viteză constantă, scurgerea apei într-un rezervor etc.).

Reveniți la formulă: un alt caz particular al funcției de gradul 1 este funcția constantă (dacă a=0).
Unde întâlnim astfel de funcții în realitate? De exemplu, viteza luminii sau temperatura medie la Ecuator (e aproximativ 25 de grade).

Activitatea 2 - Ce companie de taxi aleg?

Acum că știm ce sunt funcțiile liniare, haideți să vedem în practică cum ne ajută ele. 
Avem următoarea situație (puteți nota pe tablă datele):

Două companii de taxi oferă tarife diferite: prima are un tarif de 2 RON/km + 4 RON tarif de pornire, iar a doua companie are un tarif de 2,5 RON/km + 3 RON tarif de pornire. Care e cea mai bună alegere și de ce?

În funcție de timp, folosiți rutina GLC. Lăsați elevii să se gândească 1 minut și apoi să discute în perechi încă 1 minut. Cereți apoi opinii. 

Cum ar traduce în funcții relațiile dintre tarif și distanță? Unii elevii s-ar putea să nu reușească încă să găsească funcția. Insistați pe acele nelămuriri: care e variabila independentă, respectiv dependentă? În limbaj natural, plătim un preț în funcție de distanță. Deci ce urmează după „funcție de” este variabila independentă (distanța). De ea depinde cealaltă variabilă (tariful). Deci f(x)=2x+4 (tariful de pornire). Respectiv g(x) = 2.5x + 3

Și acum, cum le comparăm?
Putem vedea distanța la care tarifele devin egale rezolvând ecuația: 2x+4=2.5x+3 sau 0.5x=1, deci x (distanța) este 2km. Cu alte cuvinte, dacă merg doar 2km, nu contează ce companie aleg.
Dar peste 2km? Putem particulariza cu 3km: f(3)=10, iar g(3)=10.5
Deci deja de la 2km în sus, costul cu a doua companie e mai mare, chiar dacă tariful de pornire e mai mic.

Egalitatea funcțiilor liniare
Funcțiile f, g : ℝ→ℝ, f(x) = ax + b, g(x) = cx + d sunt egale dacă și numai dacă a = c, b = d.

Astfel de relații ne ajută să luăm decizii și să construim modele pentru tot felul de situații, în științe, dar și în viața de zi cu zi. (Alte exemple pot fi: calculul temperaturii la care două substanțe chimice reacționează cu aceeași viteză, amortizarea investițiilor etc.)

Activitatea 3 - 4 colțuri
Pentru că lecția durează 2 ore și e densă, nu vă grăbiți să treceți la alte noțiuni noi până nu vă asigurați că și clasa e cu dvs. 
Vă recomandăm o întrebare-pivot ca să știți dacă elevii au înțeles cum se exprimă o situație reală printr-o funcție. 
Puteți folosi metoda celor 4 colțuri (cu ocazia asta elevii se ridică din bănci și se revigorează înainte sau după pauză). Fiecare colț reprezintă un răspuns pe care elevii îl cred corect la următoarea întrebare (elevii pot nota pe caiete și dvs la tablă).

Ești agent de vânzări și câștigi un salariu fix de 3500 RON + un comision de 10% din vânzări. Cât vei câștiga dacă faci vânzări de 4000 RON?
Variante de răspuns:
A. 4350 RON 
B. 7500 RON
C. 3900 RON
D. 4100 RON

Răspunsuri:
A - Greșeală: Se calculează greșit comisionul. Se calculează 10% din 3500 RON (350 RON) incorect, în loc de 10% din 4000 RON.
B - Greșeală: Se adună greșit salariul fix și comisionul.
C - Corect
D - Greșeală: calculează greșit adunarea

Cereți elevilor care au răspuns greșit să explice cum au gândit. Rugați-i pe ceilalți care au răspuns corect să îi ajute să deducă funcția folosind variabila independentă (vânzările) și cea dependentă (câștigul). 
Dacă vânzările sunt de 4000, atunci salariul total este f(4000) = 0.1 * 4000 + 3500 = 3900 RON.

Această metodă de evaluare formativă vă ajută să vedeți care sunt elevii care nu au înțeles / s-au grăbit ca să îi puteți implica până la finalul lecției.

Activitatea 4 - Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții

Pentru a introduce reprezentarea geometrică a graficului unei funcții, folosiți activitatea „Aterizarea unui avion” realizată pe platforma Desmos. Elevii vor putea exersa găsirea ecuației unei drepte ca rută de aterizare pe pistă a unui avion. 

Chiar dacă nu toți elevii au telefoane sau tablete, puteți proiecta în clasă ce fac elevii voluntari chemați pe rând să răspundă la diferite provocări. 
La început, elevii descoperă necesitatea graficului pentru a poziționa corect avionul pe pista de aterizare. (slide-urile 1 și 2)
Apoi trebuie să poziționeze avionul pe axa Oy la 15 și văd ecuația dreptei y=15-x. (slide-urile 3, 4)
În următoarele slide-uri exersează diferite ecuații ale dreptei, apoi primesc o întrebare de verificare.

Puteți folosi acest exemplu pentru a generaliza observațiile despre graficul unei funcții de gradul I. 
Întrebați elevii - cum arată dreapta din graficul funcției liniare? Ce mai observați despre ea?

  • este o dreaptă oblică. 

    • De ce e oblică? Presupunem prin absurd că nu ar fi - asta înseamnă că sunt două cazuri: 

      • fie e orizontală (arătați în grafic), deci a=0 și f(x)=b, adică o funcție constantă. Așa deduceți că graficul unei funcții constante nenule este o dreaptă paralelă cu axa Ox. 

      • fie e verticală (arătați în grafic) - deci funcția nu e definită pe nicio valoare a lui x sau… nu există! Prin urmare, nu poate fi decât oblică. 

  • nu conține originea axelor de coordonate. 

    • Ce s-ar întâmpla dacă ar conține originea axelor? Cereți elevilor să răspundă: ar însemna că b=0, deci f(x)=ax, adică o funcție liniară. Astfel deduceți că graficul funcției liniare e o dreaptă oblică ce trece prin originea axelor de coordonate. Reamintiți elevilor că ilustrează o dependență direct proporțională.

E de ajuns un punct pentru a reprezenta grafic o funcție? (Formalizați observațiile)

Nu, avem nevoie de 2 puncte. Acestea pot fi determinate dând valori variabilei x. Pentru a determina punctele de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate știm că punctele de pe axa Oy au coordonatele de forma (0, y), iar cele de pe axa Ox au coordonatele (x, 0).

Activitatea 5 - Fișa2 - aplicatii, lucru independent 

Următoarele aplicații au scopul de a verifica înțelegerea elevilor privind reprezentările funcțiilor. Elevii pot număra de la 1 la 8 și în funcție de număr, primesc sarcina aferentă. Lăsați suficient timp de gândire. Elevii care termină mai repede pot alege să gândească o problemă cu ultima sarcină. 

Se consideră funcția f:ℝ→ℝ, f(x) = 2x - 3.

  1. Determinați punctul de pe grafic care are abscisa 1.

  2. Determinați punctul de pe grafic care are ordonata 1.

  3. Determinați punctul de pe grafic care are coordonatele egale.

  4. Determinați punctele de intersecție ale graficului funcției f cu axele de coordonate.

  5. Reprezentați graficul funcției într-un sistem de axe de coordonate.

  6. Calculați aria triunghiului determinat de graficul funcției f și axele de coordonate.

  7. Calculați suma f(1)+f(2)+...+f(50).

  8. Cum ar arăta o situație reală care se poate „traduce” prin funcția f(x)=2x-3?

Lăsați elevii să răspundă și folosiți-vă de răspunsurile celorlalți pentru a corecta neînțelegerile. 

Activitatea 6 - Restricții date de intervale

Reluați exemplul cu companiile de taxi de mai sus pentru a reprezenta grafic diferite restricții ale unei funcții pe diferite intervale (mărginite sau nemărginite, adică nedegenerate). 

Problema 1:

Două companii de taxi oferă tarife diferite: prima are un tarif de 2 RON/km + 4 RON tarif de pornire, iar a doua companie are un tarif de 2,5 RON/km + 3 RON tarif de pornire.

Rugați elevii să reprezinte grafic pe caiete funcția de gradul I care reprezintă tariful primei companii: f(x)=2x+4

  • Taxa de pornire: Punctul (0, 4) de pe grafic reprezinta taxa de pornire de 4 lei, chiar dacă distanța parcursă este 0.

  • Costul per km: Panta segmentului de dreaptă este 2, ceea ce înseamnă că pentru fiecare km suplimentar parcurs, se adaugă 2 lei la costul total.

  • Intervalul de aplicare: Funcția este definită doar pentru distanțe non-negative (x ≥ 0).

  • Deci graficul funcției f(x) = 2x + 4 pentru x ≥ 0 este o semidreaptă care pornește din punctul (0, 4) și se extinde la infinit spre dreapta, cu o pantă de 2.

Concluzionați că reprezentarea grafică a unei funcții definite pe un interval nemărginit (închis sau deschis) este o semidreaptă (închisă sau deschisă).

Problema 2:

O parcare are o taxă de 5 lei pentru prima oră și 2 lei pentru fiecare oră suplimentară.

Acesta e un exemplu de reprezentarea grafică a unei funcții definite pe un interval mărginit (închis sau deschis) care este un segment de dreaptă (închis sau deschis). Ajutați elevii să descopere acest lucru reprezentând grafic funcția. 

Putem modela costul total al parcării folosind o funcție de gradul I cu o restricție pe intervalul mărginit [1, ∞): f(x) = 5 + 2(x - 1), dacă x ≥ 1 (interval mărginit, închis).

Rugați elevii să vă ajute să desenați graficul pe tablă pas cu pas. Întrebați cum arată, ce reprezintă punctul (1,5), care e domeniul, codomeniul.

Răspunsuri așteptate:

  • Graficul funcției va fi un segment de dreaptă închis pe intervalul [1, ∞) (inclusiv 1 și infinit).

  • Punctul (1, 5) de pe grafic reprezinta taxa de 5 lei pentru prima oră.

  • Panta segmentului de dreaptă este 2, ceea ce înseamnă că pentru fiecare oră suplimentară parcată, se adaugă 2 lei la costul total.

  • Intervalul de aplicare: Funcția este definită doar pentru durate de parcare de cel puțin o oră (x ≥ 1), deoarece nu are sens să vorbim de o durată de parcare negativă.

Încheiere

Reflecție: Trandafirii cu ghimpi
Cereți elevilor să scrie 2 lucruri care le-au plăcut / înțeles despre funcții (trandafirii) și cel puțin un lucru care nu le-a plăcut / nu l-au înțeles (ghimpele).

Resurse descărcabile

Extra (studiu independent)

Pentru dezvoltarea fluenței procedurale:

Autori: Mihaela Ionescu, Margit Dénes, Măriuca Morariu
Material realizat sub licență Creative Commons 4.0 CC BY-NC-SA Atribuire-Necomercial-Partajare în Condiții Identice (puteți folosi materialul gratuit cu menționarea sursei)

Echipa Aspire Teachers