Lecția 1: Ce sunt funcțiile?
Durata: 2 ore
Elevii descoperă că funcțiile sunt dependențe funcționale. Este ca și cum ai avea codul de descifrare a multor situații pe care le întâlnești în viață - de la rețete de gătit și tâmplărie la programare sau afaceri.
Scop
1.3. Identificarea unor dependenţe funcţionale în diferite situaţii date
Minim: Recunoaște dependențe funcționale date prin diagrame.
Mediu: Recunoaște dependențe funcționale date prin tabel și reprezentare grafică.
Maxim: Formulează dependențe funcționale plecând de la un tabel sau diagramă.
2.3. Descrierea unor dependenţe funcţionale într-o situaţie dată, folosind diagrame, tabele sau formule
Minim: Selectează informații relevante pentru verificarea definiției unei funcții, utilizând corect terminologia specifică funcțiilor.
Mediu: Transferă date între tabele, diagrame și grafice; descrie mulțimea valorilor unei funcții definită pe o mulțime finită folosind diferite reprezentări (mulțime, tabel, diagramă).
Maxim: Descrie domeniul de definiție, codomeniul și legea de corespondență ale unei funcții date printr-un tabel sau diagramă.
Competențe specifice
Neînțelegeri / greșeli tipice
Elevii pot avea dificultăți în a gândi că „spune / scrie 5” este o regulă. Această situație poate fi prevenită dacă se explică faptul că o regulă poate produce o ieșire bine definită, chiar dacă ignoră valoarea intrării. Un alt exemplu poate fi regula: „spune 1 dacă numărul este par și - 1 dacă numărul este impar”. Elevii nu identifică corect cele 3 elemente din definiția unei funcții.
Înțelegere conceptuală
Funcțiile sunt modul matematic de a descrie dependențe între două cantități care variază.
Note
Lecția debutează cu un joc în urma căruia elevii observă că pot stabili corespondențe între mulțimi finite de numere. Asta îi ajută să identifice regula de asociere și pe baza acestei experiențe vor ajunge să definească funcțiile ca relații între „intrări” și „ieșiri”. Conceptul va fi clarificat prin reprezentări diferite ale sale: tabel, diagrame, notație.
Înainte de oră pregătiți (decupați) atâtea seturi de carduri cât este jumătate din numărul de elevi ai clasei. Cardurile le găsiți în Fișa 1 - Ghicește regula, în format editabil pe care o puteți adapta conținutul cerințelor (regulilor de pe carduri) la nivelul clasei.
Intro
Anunțați că veți începe o nouă unitate de învățare - funcții. Întrebați elevii ce asocieri au cu cuvântul „funcții” - ei ar putea da exemple de contexte precum „roluri” (funcția de director sau rolul de elev de serviciu) sau „în funcție de” (adică „depinde de”).
Amintiți-le că și în matematică, funcțiile reprezintă niște dependențe sau reguli, deci ceea ce știu îi va ajuta să descopere ceea ce vor învăța.
Cuprins
Provocați-i apoi la un joc.
Activitatea 1: Jocul „Ghicește regula”
Pasul 1. Cereți elevilor să formeze perechi pentru că urmează să joace „Ghicește regula”. Scopul jocului este să identifice corect cât mai multe reguli de pe carduri. Jocul are următoarele reguli:
Fiecare pereche primește un set de carduri pe care sunt scrise diferite reguli (Fișa 1 - Ghicește regula);
Cardurile se așează cu fața în jos și se stabilește care jucător începe primul;
Jocul se joacă în runde, cu un jucător care aplică regula de pe un card și celălalt care trebuie să o ghicească; Dacă este nevoie, faceți o demonstrație cerând unui elev să vă fie pereche.
Runda 1:
Jucătorul 1 ridică un card și citește în tăcere regula de pe card fără să o arate celuilalt.
Jucătorul 2 alege un număr întreg, îl comunică jucătorului 1 și îi cere rezultatul aplicării regulii pentru acel număr.
Jucătorul 1 dă rezultatul, fără să spună cum l-a obținut.
Jucătorul 2 trebuie să ghicească corect regula. Are dreptul la trei încercări. Dacă a ghicit, primește un punct.
Runda 2:
jucătorii își schimbă rolurile.
Runda 3-8 :
jucătorii continuă jocul schimbând rolurile.
La finalul a 8 runde, elevii își pot compara punctele obținute.
Pasul 2: Structurarea informațiilor
Cereți elevilor să scrie individual pe caietele lor un rezumat pentru o regulă găsită, folosind un tabel cu două coloane: Intrări (numărul dat de jucător) și ieșiri (numărul reieșit în urma aplicării regulii). Să adauge și alte numere de “intrare:
Dați un exemplu:
2 -> DUBLEAZĂ NUMĂRUL, APOI SCADE 1 -> -5
| Intrări (x) | Ieșiri (y=f((x)) |
|---|---|
| -2 | -5 |
| 1 | 1 |
| 3 | 5 |
| ... | ... |
Elevii pot discuta cu colegii lor de echipă rezultatele, verificând astfel înțelegerea corectă. Cereți apoi să noteze toate valorile lui x într-o mulțime A, iar toate valorile lui y în mulțimea B.
Pasul 3. Deducerea regulii
Încheiați activitatea întrebându-i ce au descoperit. Subliniați, folosindu-vă de răspunsurile lor, că în jocul „Ghicește regula” au descoperit de fapt reguli care permit asocierea unor valori de intrare cu alte valori numite ieșiri.
Întrebați elevii dacă pot numi situații din viața reală în care folosesc astfel de relații: Intrare -> Regulă -> Ieșire
Faceți legătura cu înțelegerile conceptuale ale unității Funcții, cu aspecte din viața reală și cum îi vor ajuta cunoașterea funcțiilor. Exemple:
Persoane (intrare) și locul rezervat în tren (ieșire)
Vânzările (intrare) și profitul (ieșire)
Educatori (ieșire) la număr de copii (intrare)
Distanța (ieșire) și timpul (intrare) într-o călătorie
Anunțați obiectivele urmărite pe parcursul noii unități de învățare - că vor ști să identifice și să descrie funcțiile folosind diagrame, tabele sau formule.
Introducerea și definirea conceptelor
Plecând de la experiența recentă a jocului cu regulile, prezentați elevilor conceptele cu care veți opera la capitolul funcții:
Mulțimea valorilor de intrare sunt domeniul de definiție și îl notăm cu A,
Mulțimea valorilor de ieșire reprezintă domeniul de valori sau codomeniul - notat cu B,
Iar regula care leagă fiecare element din A cu un singur element din B e funcția - notată cu f.
Definiție:
Astfel, funcția e definită pe domeniul A (intrările) cu valori în domeniul B (ieșirile).
Și ea e o regulă de corespondență de la mulțimea A la mulțimea B astfel încât fiecărui element din A i se asociază un unic element din B.
Notație: f:A→B, x∊A, y = f(x)∊B
Este important de subliniat faptul că notația y = f(x) exprimă faptul că ieșirea (y) depinde de intrare (x) sau y este o funcție de x. Acest lucru înseamnă că îl putem privi pe x ca o variabilă independentă, în timp ce y este variabila care depinde de x.
Definiție: Mulțimea tuturor valorilor unei funcții f se numește imaginea funcției f și se notează Im f.
Explicați și notația matematică: Im f = {f(x) / x∈A}; Imf⊆B.
Observație: Din definiția funcției nu rezultă neapărat că orice element din codomeniu trebuie să fie imaginea unui element din domeniul de definiție.
Evaluare formativă:
Verificați înțelegerea întregii clase rugând elevii să răspundă la întrebarea: între elementele din următoarea mulțime putem vorbi de o funcție? f = {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5)}
Lăsați 10-15 secunde de gândire și abia apoi rugați toți elevii să ridice mâna sus dacă cred că DA.
Cereți justificări.
Aceasta e o întrebare-pivot care verifică dacă elevii au înțeles că fiecare intrare (element din domeniu) are o singură corespondență în ieșire (co-domeniu). 1 și 2 au câte 2 valori (3, respectiv 5), deci nu putem vorbi de o funcție între elementele din mulțime.
Clarificați neînțelegerile celor care au ridicat mâna folosind și alt exemplu.
Știați că? Cel care a creat teoria funcțiilor a fost matematicianul elvețian Leonhard Euler acum peste 3 secole. El a fost primul care a introdus notația f(x) pentru aplicarea funcției f elementului x. Tot el a dezvoltat funcțiile trigonometrice despre care veți învăța mai încolo.
Activitatea 2: Exemplificarea funcțiilor prin tabele, diagrame sau formule
Explicați elevilor că dacă domeniul de definiție al unei funcții este o mulțime finită, putem defini funcția cu ajutorul unui tabel sau a diagramelor Venn-Euler. Prezentați următoarele exemple (puteți proiecta imaginea pe tablă).
Exemplu 1: Pe raftul unui magazin sunt expuse câteva produse și prețurile corespunzătoare.
Corespondența dintre produs și preț poate fi reprezentată și cu ajutorul diagramelor.
Rugați, pe rând, elevii să vă spună ce să scrieți în fiecare mulțime. Reluați așadar cele 3 elemente ale funcției în reprezentarea de mai jos: domeniu, codomeniu și regula.
Notăm p:A→B funcția preț definită pe mulțimea A a produselor cu valori în mulțimea B a prețurilor. Avem, de exemplu, p(suc) = 6 lei.
Exemplu 2: Un bazin cu capacitatea de 500 de litri este umplut cu ajutorul unui robinet care are debitul de 50 l/min. Volumul de apă se măsoară din minut în minut. Datele colectate după 5 min pot fi prezentate:
b) cu ajutorul unor diagrame:
a) cu ajutorul unui tabel
| Timpul (min) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
| Volumul de apă (l) | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
Dacă situația de mai sus descrie funcția f:A→B, precizați elementele mulțimilor A și B. Descrieți corespondența x⟶f(x) printr-o formulă.
Lăsați elevii să identifice în perechi formula.
Răspuns: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 50, 100, 150, 200, 250}.
f(x) = 50*x
Se poate face observația că cele două mărimi, timpul și volumul de apă, sunt mărimi direct proporționale.
Atenție! Nu orice diagramă reprezintă o funcție!
Activitatea 3: Verificarea înțelegerii cu exemple și contraexemple de funcții
Alegeți cea mai eficientă formă prin care să verificați înțelegerea întregii clase, insistând pe neînțelegeri și prioritizând elevii care nu răspund corect. Puteți folosi cartonașe colorate, elevii se pot muta în colțuri diferite ale clasei (Da/Nu) sau puteți ruga elevii să ridice mâna.
Asigurați-vă că dați suficient timp de gândire și că toți răspund în același timp. Cereți de fiecare dată justificări pentru a face gândirea vizibilă.
Puteți folosi exemplele (disponibile și în prezentarea-suport pentru Lecția1).
1. O persoană are înălțimea de 160 cm. Se poate exprima înălțimea în metri?
Răspuns: Da (y = x : 100).
2. Un număr este egal cu 5. Se poate spune pătratul său?
Răspuns: Pătratul unui număr depinde de număr
2. Pătratul unui număr este 16. Se poate spune numărul?
Răspuns: Nu se poate asocia un singur răspuns, deci acest exemplu nu descrie o funcție.
3. Dacă se dă un număr, se poate spune cât este triplul său?
Răspuns: Da. Regula poate descrie funcția y = 3x.
4. Dacă avem un dreptunghi cu aria de 25 cm2, se poate spune care e lungimea lui?
Răspuns: Nu, ar trebui să știm lățimea dreptunghiului pentru a putea afla lungimea.
Ce formă geometrică ar trebui să fie ca să avem de-a face cu o funcție? (Pătrat.) Câți cm are latura? (5cm)
Dacă elevii au înțeles de ieșirea (y) depinde de intrare (x), recunoscând în același timp că o funcție înseamnă că fiecare intrare oferă exact o ieșire, rugați-i să formuleze ei alte exemple după modelul celor de sus - o nouă ocazie de lucru în perechi (1 minut de gândire, 2 minute pentru prezentarea câtorva exemple)
Activitatea 4 - Aplicații practice
Dați elevilor să lucreze individual exercițiile din Fișa 2 - corespondențe geometrice. Dacă timpul permite, discutați exercițiile din fișa pentru temă (cu accent pe exercițiul 3).
Încheiere
Bilet de ieșire
Împărțiți cardurile din fișa 3 câte unul pe bancă (un card la 2 elevi). Elevii vor avea la dispoziție 1 min să se gândească individual dacă pe card este o funcție sau nu, apoi 2 min pentru a discuta în perechi și a argumenta răspunsul. Puteți proiecta aceste carduri pe tablă.
Între timp împărțiți tabla în 2 coloane, unde elevii să lipească cardurile pe care sunt funcții, respectiv cele pe care nu sunt funcții.
Temă pentru acasă: Selectați în funcție de nivelul clasei aplicații din Fișa 4 - aplicații funcții. Primul exercițiu este un tip de diagramă Frayer - un mod de a rezuma conceptul „Funcții” pe care îl puteți discuta ora următoare - rezultatul poate rămâne sub forma unui poster în clasă la care să reveniți și cu alte ocazii.
Resurse descărcabile
L1-functii-prezentare suport (.pptx sau Google slides)
L1-fișa joc-ghicește regula (.docx)
L1-fișa 2-corespondențe geometrice (.docx)
L1-fișa 3-funcții sau nu? (.docx)
L1-fisa4-aplicatii functii (.docx)
Extra (studiu independent)
Exerciții de aprofundare: Test Quizizz; Aplicații cu diagrame Venn-Euler: ASQ - testul 3; testul 4
Autori: Mihaela Ionescu, Margit Dénes
Inspirație pentru exemplele cu „intrări” și „ieșiri”: The Core Knowledge Mathematics™ curriculum (creat de Illustrative Mathematics în colaborare cu Open Up Resources)
Material realizat sub licență Creative Commons 4.0 CC BY-NC-SA Atribuire-Necomercial-Partajare în Condiții Identice (puteți folosi materialul gratuit cu menționarea sursei